School

За $\forall x\ge -1$ и $\forall n\in \mathbb{N}$ е вярно, че:

$$(1+x{)}^n\ge 1+nx$$

Доказателство:

За $n=1$ имаме $(1+x{)}^1\ge (1+1\cdot x)$, което е вярно като равенство.

Нека приемем, че за $n=k\ge 1$ е вярно, че

$$(1+x{)}^k\ge 1+kx$$

Тогава за $n=k+1$ се опитваме да докажем, че

$$(1+x{)}^{k+1}\ge 1+(k+1)x=1+kx+x$$

имаме, че

$$(1+x{)}^{k+1}=(1+x{)}^k(1+x)$$